Ciąg monotoniczny
Ciągi, tak jak funkcje, mogą mieć różne własności, których znajomość może przyczynić się do dalszej analizy ich zachowania. Na wykresach ciągów z Rys. 1 widzimy, że charakter każdego z ciągów jest zupełnie inny.
W pierwszym ciągu pokazanym na Rys. 1 każdy kolejny wyraz jest większy od wyrazów poprzednich i ciąg o takiej własności nazywamy rosnącym. W ciągu drugim każdy kolejny wyraz jest od poprzednich mniejszy i ciąg mający taką własność nazywamy malejącym. W trzecim ciągu wszystkie wyrazy są takie same i taki ciąg nazywamy stałym. Może się również zdarzyć, że każdy kolejny wyraz ciągu jest nie mniejszy albo nie większy (tzn. może być też równy) od wyrazu poprzedniego i ciągi o takich własnościach nazywamy niemalejącym albo nierosnącym. Zauważmy, że ciąg stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący.
Istnieją oczywiście ciągi, które nie są ani rosnące lub niemalejące, ani malejące lub nierosnące, ani stałe i mówimy, że taki ciąg nie jest monotoniczny. Rys. 2 przedstawia ciąg, który nie ma żadnej z powyższych własności.
Rzeczywiście, np. wyraz drugi jest większy od wyrazu pierwszego, wyraz trzeci jest natomiast mniejszy od drugiego, wyraz czwarty jest znowu większy od trzeciego itp.
Definicja 2: Ciąg malejący
Definicja 3: Ciąg stały
Definicja 4: Ciąg niemalejący
Definicja 5: Ciąg nierosnący
Uwaga 1:
'
Komentarz
Definicję Ciąg rosnący można w sposób równoważny wyrazić w postaci nierówności \( a_{n+1}-a_n > 0 \), która powinna być spełniona dla każdego \( n \in M \). Jeżeli dodatkowo wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu \( (a_n)_{n \in M } \) są dodatnie, to ciąg jest rosnący, gdy dla wszystkich \( n \in M \) spełniona jest nierówność \( \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 \). Jeżeli w nierównościach zmienimy zwroty nierówności na przeciwne, to analogiczne warunki równoważne definiują ciąg malejący. Wypisane warunki są łatwiejsze do sprawdzenia w praktyce, gdyż wystarczy zbadać znak różnicy \( a_{n+1}-a_n \) lub dla ciągów o wyrazach dodatnich przyrównać iloraz \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) do jedynki, aby odpowiedzieć na pytanie o monotoniczność ciągu.
Przykład 1:
Rozwiązanie
Zbadamy znak różnicy \( a_{n+1}-a_n \).
\( a_{n+1}-a_n =\frac{3n+2}{n+4}-\frac{3n-1}{n+3}= \frac{(3n+2)(n+3)-(3n-1)(n+4)}{(n+4)(n+3)} = \frac{10}{(n+4)(n+3)} > 0 \) dla \( n \in \mathbb{N} \)
Widzimy, że różnica \( a_{n+1}-a_n \) jest dodatnia dla wszystkich \( n \in \mathbb{N} \).
Wykazaliśmy, że ciąg \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) jest rosnący.Przykład 2:
Rozwiązanie
Zauważamy, że wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc obliczamy iloraz \( \frac{b_{n+1}}{b_n} \).
\( \frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2^{n+1}} ∶ \frac{1}{2^n} =\frac{1}{2^{n+1}} \cdot 2^n=\frac{1}{2} < 1. \)
Iloraz \( \frac{b_{n+1}}{b_n} \) jest mniejszy od jedynki dla wszystkich \( n \in \mathbb{N} \).
Wykazaliśmy, że ciąg \( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \) jest malejący.Przykład 3:
Rozwiązanie
Określimy znak różnicy \( c_{n+1}-c_n \) dla wszystkich \( n \geq 2 \).
\( c_{n+1}-c_n = \sqrt{(n+1)^2-2(n+1)}- \sqrt{n^2-2n} = (\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2-2n}) \cdot \frac{\sqrt{n^2-1} +\sqrt{n^2-2n}}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2n}} = \frac{n^2-1-n^2+2n}{\sqrt{n^2-1} + \sqrt{n^2-2n}} = \)
\( =\frac{2n-1}{\sqrt{n^2-1}+ \sqrt{n^2-2n}} > 0 \) dla \( n \geq 3. \)
Obliczamy jeszcze \( c_3=\sqrt{3} \) i \( c_2=0 \) i zauważamy, że \( c_3-c_2 > 0 \).
Wykazaliśmy, że różnica \( c_{n+1}-c_n \) jest dodatnia dla wszystkich \( n \geq 2 \), czyli ciąg \( (c_n)_{n \geq 2} \)jest rosnący.
Komentarz
Bardzo często analiza zachowania się ciągu liczbowego sprowadza się do badania zachowania się tego ciągu dla wyrazów o dużych indeksach, czyli nie interesuje nas zachowanie się początkowych wyrazów ciągu (nawet dużej ich ilości), a raczej „końcówka” tego ciągu. Z takiego punktu widzenia, może się zdarzyć, że dopiero po odrzuceniu pewnej liczby wyrazów początkowych, otrzymujemy ciąg monotoniczny i takie ciągi nazywamy monotonicznymi od pewnego miejsca.
Rys. 3 przedstawia wykresy trzech ciągów, których monotoniczność ustala się dopiero od pewnego wyrazu, a nie od wyrazu pierwszego, jak to ma miejsce dla ciągów monotonicznych. Rzeczywiście pierwszy wykres przedstawia ciąg, który jest rosnący począwszy od 11-go wyrazu. Drugi wykres przedstawia ciąg, który jest malejący począwszy od 8-go wyrazu, a wykres trzeci przedstawia ciąg, który jest stały od 16-go wyrazu.
Definicja 6: Ciąg rosnący od pewnego miejsca
Definicja 7: Ciąg malejący od pewnego miejsca
Definicja 8: Ciąg stały od pewnego miejsca
Przykład 4:
Rozwiązanie
Dziedziną ciągu jest zbiór \( \mathbb{N} \). Badamy znak różnicy \( a_{n+1}-a_n \).
\( a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-6(n+1)+8-(n^2-6n+8)=2n-5 > 0 \) dla \( n > \frac{5}{2} \).
Widzimy, że różnica \( a_{n+1}-a_n \) jest dodatnia tylko dla \( n > \frac{5}{2} \), czyli ciąg \( (a_n )_{n \in \mathbb{N}} \) jest rosnący od 3-go miejsca.Przykład 5:
Rozwiązanie
Dziedziną ciągu jest zbiór \( \mathbb{N} \). Badamy znak różnicy \( b_{n+1}-b_n \).
\( b_{n+1}-b_n=\frac{1}{1+(n-4)^2}-\frac{1}{1+(n-5)^2}=\frac{-2n+9}{[1+(n-4)^2][1+(n-5)^2]} < 0 \) dla \( n > \frac{9}{2} \).
Widzimy, że różnica \( b_{n+1}-b_n \) jest ujemna tylko dla \( n > \frac{9}{2} \), czyli ciąg \( (b_n )_{n \in \mathbb{N}} \) jest malejący od 5-go miejsca.